離散型確率変数が2つあるときの期待値

 離散型確率変数が2つある場合の期待値を考えていきます。

離散型確率変数を定義する

 2つの離散型確率変数を\(X, Y\)とし、それぞれ

\(X \in \{x_1, \cdots, x_i, \cdots, x_n\}\), 生起確率は\(P_X(x_i)\)
\(Y \in \{y_1, \cdots, y_j, \cdots, y_m\}\), 生起確率は\(P_Y(y_j)\)

とします。このとき、各々の期待値は

\(\begin{eqnarray}E[X] &=& \sum_{i=1}^nx_iP_X(x_i)\\ E[Y] &=& \sum_{j=1}^my_jP_Y(y_j)\end{eqnarray}\)

となります。

\(E[X \pm Y] = E[X] \pm E[Y]\) の証明

 以下では\(E[X + Y] = E[X] + E[Y]\)を証明していきます。

\(\begin{eqnarray}
E[X + Y] &=& \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(x_i + y_j)P_{XY}(x_i, y_j)\\
&=& \sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^m P_{XY}(x_i, y_j) + \sum_{j=1}^m y_j\sum_{i=1}^n P_{XY}(x_i, y_j) \\
&=& \sum_{i=1}^nx_iP_X(x_i)\sum_{j=1}^m P_{Y|X}(y_j | x_i) + \sum_{j=1}^my_jP_Y(y_j)\sum_{i=1}^n P_{X|Y}(x_i | y_j)\\
&=& \sum_{i=1}^nx_iP_X(x_i) + \sum_{j=1}^my_jP_Y(y_j)\\
&=& E[X] + E[Y]
\end{eqnarray}\)

2-3行目では、2つの確率変数が独立でない場合を考慮して、ベイズの定理

同時確率\(P_{XY}(X, Y) = P_X(X)P_{Y|X}(Y | X) = P_Y(Y)P_{X|Y}(X | Y)\)

を使用しています。また、3-4行目では、条件付確率の性質

\(\sum_{i=1}^n P_{X|Y}(x_i | y_j) =\sum_{j=1}^m P_{Y|X}(y_j | x_i) = 1\)

を使用しています。同様の手順で\(E[X – Y] = E[X] – E[Y]\)も証明できます。従って、\(E[X \pm Y] = E[X] \pm E[Y]\)が成り立ちます。

離散型確率変数が独立であるとき\(E[XY] = E[X]E[Y]\)の証明

 離散型確率変数が互いに独立な関係にあるとき、

\(P_{XY}(X, Y) = P_X(X)P_Y(Y)\)

が成立します。この性質を使用すると以下のように式変形ができます。

\(\begin{eqnarray}
E[XY] &=& \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mx_iy_j P_{XY}(x_i, y_j)\\
&=& \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mx_iy_j P_X(x_i)P_Y(y_j)\\
&=& \sum_{i=1}^n x_iP_X(x_i) \sum_{j=1}^m y_j P_Y(y_j)\\
&=& E[X]E[Y]
\end{eqnarray}\)

したがって、\(E[XY] = E[X]E[Y]\)が成り立ちます。

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